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文章关键词:银河国际网址,酉变换

  任何一个正规矩阵,都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵;反之,任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

  的列向量则是A相应的特征向量。谱定理的一种陈述,银河国际网址是说正规矩阵正好是能在的某个正交基下变成对角矩阵的那些矩阵(这里将矩阵同于上的线性变换,银河国际网址并使用常用的内积)。另外一种说法为:矩阵是正规的当且仅当其特征向量能张成整个

  的乘积不是正规矩阵,但是,如果A和B两者可以交换,银河国际网址那么它们的乘积与和就仍然是正规的。这是因为它们可以“同时”(通过同一个相似变换矩阵)被对角化:

  =UP。其中U是酉矩阵、P是某个半正定矩阵。如果A可逆,那么U和P都是唯一的。而如果A是正规矩阵,那么UP=PU(其逆命题只在有限维的情况下成立)。推广正规矩阵的概念可以被推广为无穷维希尔伯特空间中的正规算子C*-代数中的正规元素。

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