  柱面波波函银河国际平台数应在柱面坐标系中描述

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文章关键词:银河国际网址,柱面函数

   1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  前次课内容回顾及前次课内容回顾及平面波的波函数:一 、 、 球面波的波函数球面波的波函数: :二、 球面波的复振幅:三、 柱面波的波函数:平面波的波函数:  一  二、 球面波的复振幅:  三、 柱面波的波函数: 1 1- -3 3平平面电磁波面电磁波前次课内容回顾:前次课内容回顾:1. 1. 波动方程的平面波解:波动方程的平面波解:122vz122vz(1) 0222t2EE)()(21vtzfvtzfE2. 2.平面平面简谐波:简谐波:(2) 022tBBtvz)z(2cosAE)cos(TttkzAE或)()(21vtzfvtzfB 1 1- -3 3平平面电磁波面电磁波3. 3.一般坐标系下的平面波的波函数:一般坐标系下的平面波的波函数:)cos(trkAE ) )(k(kAAEEr4. 4.平面平面简谐波的复振幅:简谐波的复振幅:)exp(~Erk iAexpti 1 1- -3 3平平面电磁波面电磁波  5. 5.平面波的性质平面波的性质  ( (1 1) ) 电磁波是横波:电磁波是横波:) E 和B 互相垂直和B 互相垂直) E 和B 同相和B 同相::  ( (2 2) EEkBBEk01Ek0E  ( (3 3) EvEkB1BE0 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波除平面波外除平面波外,,球面波和柱面波也是两种球面波和柱面波也是两种常见的波。 在光学中他们分别由点光源和常见的波。 在光学中他们分别由点光源和线光源产生线光源产生。 。一球面波的波函数球面波的波函数  一一 、 、 球面波的波函数球面波的波函数::二、 球面波的复振幅:三、 柱面波的波函数:  一  二、 球面波的复振幅:  三、 柱面波的波函数: 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  一一 、 、 球面波的波函数球面波的波函数::点状振动源的振动向周围空间均匀的点状振动源的振动向周围空间均匀的传播形成球面波传播形成球面波..从对称性考虑从对称性考虑,,这个波的等相面是球面,这个波的等相面是球面,并且其上的振幅处处相等并且其上的振幅处处相等..由于随着考察点远离振动源由于随着考察点远离振动源,,等相面的曲率半径逐渐增大曲率半径逐渐增大,,最后接近于平面.最后接近于平面.所以, 平面波是球面波的一种特殊形式 . .   等相面的  所以, 平面波是球面波的一种特殊形式 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波 严格的点状振动源是不存在的严格的点状振动源是不存在的,,从而理想的球面波或平面波是不存在的想的球面波或平面波是不存在的..在光学上在光学上,,当光源的尺寸远小于考察点至当光源的尺寸远小于考察点至光源的距离时往往把该光源称为点光源光源的距离时往往把该光源称为点光源光源的距离时, 往往把该光源称为点光源光源的距离时, 往往把该光源称为点光源..由它发出的波可以近似当作球面波处理由它发出的波可以近似当作球面波处理. 从而理  . 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  由于对称性由于对称性,,可将波动方程转化为球坐标下可将波动方程转化为球坐标下的方程的方程。 。 选择振动源作为坐标原点选择振动源作为坐标原点,,则知:波函数波函数A(r,t)A(r,t)只与只与r r有关有关, , 与方位无关( , )( , )可以证明: 这样的波函数 A(r,t)1),(2rr2A则知:与方位无关位位A(r,t)满足下式:满足下式:),(tr2A  可以证明: 这样的波函数2rA  标准波动方程标准波动方程变为:  变为:2rAt221tv22222),(1),(1ttrAtrrArr 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  上式亦可写为:上式亦可写为:  若将r A(r , t ) 看成一体, 这个方程若将r A(r , t ) 看成一体, 这个方程和一维波动微分方程有完全相同的形式和一维波动微分方程有完全相同的形式和维波动微分方程有完全相同的形式。和维波动微分方程有完全相同的形式。它的解为:或或r22222),(1),(ttrrAtrrAr  它的解为:A此即为球面波波函数的一般形式。此即为球面波波函数的一般形式。其中其中B B1 1, B, B2 2为任意函数。为任意函数。)()(),(21vtrBvtrBtrrA )()(1),(21vtrBvtrBtr 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波显然, 我们最关心简谐球面波这个特殊形式。式。 则:则:假定源点振动的初位相为零, 对于电矢量(此时可看作标量) 即(此时可看作标量) 即 0 0=01 Acos(krrE  显然, 我们最关心简谐球面波这个特殊形cos),(r  假定源点振动的初位相为零, 对于电矢量=0 则有:则有:0 tkratrA  写成复数形式:写成复数形式:可以看出, 球面波的振幅不再是常量, 它与离开波源的距离与离开波源的距离r r成反比, 其等相面为:r=r=常数的球面。常数的球面。  可以看出, 球面波的振幅不再是常量, 它成反比, 其等相面为:)1tAE )t(exp1krirA 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  二、二、 球面波的复振幅球面波的复振幅 : :称并简单的以它代表一个球面简谐波并简单的以它代表一个球面简谐波 。 。注:简谐球面波的参量特点:简谐球面波的参量特点:振幅振幅a/ra/r不是一个常量不是一个常量, , 它随小; 但在小; 但在r r相同的球面上相同的球面上, , 振幅是均匀的是一个常量是一个常量, , 代表代表r=r=1 1处的振幅的强弱的强弱, , 称为源强度称为源强度。 。  称为球面简谐波的复振幅,为球面简谐波的复振幅,)exp(~E 1ikrrA  注:  1 1..它随r r 增加而减增加而减振幅是均匀的。 。 A A1 1处的振幅, , 表征振动源表征振动源 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波 2 2..位相:位相:  球面波的位相是球面波的位相是仅仅是r r的函数  即 即 仅仅是的函数, , 并指出了drdtd并指出了v v的含义的含义0kvtkr  说明说明v v是沿球面径向的位相传播速率是沿球面径向的位相传播速率。 。当等相面自球心向外传播时v当等相面向球心会聚时v  当等相面自球心向外传播时v0 0,,称为称为发散球面波发散球面波, ,v0 0, , 称为称为会聚球面波会聚球面波。 。  当等相面向球心会聚时drv0 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  K K仍仍为波数:为波数:  代表发散波和会聚波代表发散波和会聚波。 。由于球面波振幅随r r增大而减小2k  由于球面波振幅随增大而减小, ,  故严格说来:故严格说来:球面波波函数不成现严格的空间周期性, ,  球面波波函数不成现严格的空间周期性 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  3 3。 简谐球面波在平面上的近似表达式。 简谐球面波在平面上的近似表达式 : :  在光学中, 通常要求解球面波在某个平面在光学中, 通常要求解球面波在某个平面上的复振幅分布。 例如, 在直角坐标系上的复振幅分布。 例如, 在直角坐标系xyz中波源中波源s s坐标为坐标为z z 我们来求解它发出的球我们来求解它发出的球中波源中波源s s坐标为坐标为x x0, 0,y y0, 0,z z0 0我们来求解它发出的球我们来求解它发出的球面波在面波在z z= =0 0平面上的复振幅分布。平面上的复振幅分布。银河国际平台由于s s到到z=0z=0平面上任意点平面上任意点p(x,y)xyz  由于p(x,y)的距离为的距离为21202020)()(zyyxxr 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  由 由时复振幅的表示式知:时复振幅的表示式知:z=o平面上的振幅分布为:平面上的振幅分布为:  在在z=o0021))(())((exp))(())((~EzyyyyxxikA  此式较复杂不便应用, 实际中往往进行近此式较复杂不便应用, 实际中往往进行近似处理。似处理。00pzyyxx 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  三、三、柱面波是由无限长同步线状振动源( (同步线源线源) ) 产生的波动产生的波动。 。所谓同步线源是指这样一种振动源: 在整条直线上所有点都是一个点源条直线上所有点都是一个点源, , 各个点源的振动完全相同的振动完全相同, , 在简谐振动下各点的初在简谐振动下各点的初位相位相, , 频率和振幅完全相同频率和振幅完全相同。 。在光学上可以用平面波照亮一个极细的长缝来获得近似的柱面波缝来获得近似的柱面波。 。柱面波的波函数:柱面波的波函数:  柱面波是由无限长同步线状振动源同步  所谓同步线源是指这样一种振动源: 在整各个点源  在光学上可以用平面波照亮一个极细的长 1 1- -4 4球面波和柱面波球面波和柱面波  需要注意的是需要注意的是, , 一般单色线光源不产生柱一般单色线光源不产生柱面波面波, , 因其上各点的振动不是同步的因其上各点的振动不是同步的。 。  柱面波波函数应在柱面坐标系中描述, 它柱面波波函数应在柱面坐标系中描述, 它的波函数可写为的波函数可写为( 的波函数可写为的波函数可写为(E) 0) 0A  其复振幅为其复振幅为为线光源的强度。  A A1 1为线光源的强度。 )t(exp10krir)exp(~E 1ikrrA 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  一、 电偶极子辐射模型:一、 电偶极子辐射模型:二. 辐射能:三 对实际光波的认识:对实际光波的认识:  二. 辐射能:  三 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  一、 电偶极子辐射模型:一、 电偶极子辐射模型:  光波是电磁波, 光源发光就是物体的辐光波是电磁波, 光源发光就是物体的辐射电磁波的过程。 大部分物体发光属于射电磁波的过程。 大部分物体发光属于射电磁波的过程。 大部分物体发光属于射电磁波的过程。 大部分物体发光属于原子发光类型, 因此我们只研究原子发原子发光类型, 因此我们只研究原子发光的情况。光的情况。经典电磁场理论认为: 原子发光是原子内部运动过程形成的电偶极子的辐射内部运动过程形成的电偶极子的辐射。 。  经典电磁场理论认为: 原子发光是原子 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  原子由带正电的原子核和带负电的绕核运原子由带正电的原子核和带负电的绕核运转的电子组成转的电子组成。 。  在外界能量的激发下在外界能量的激发下, , 由于原子核和电子的剧烈运动和相互作用的剧烈运动和相互作用,银河国际平台 , 原子的正电中心和负电中心常不重合和负电中心常不重合和负电中心常不重合和负电中心常不重合, , 且正离在不断的变化离在不断的变化, , 从而形成一个振荡的电从而形成一个振荡的电偶极子偶极子。 。 如图如图1 1- -1313所示:所示:该系统的电偶极距为由于原子核和电子原子的正电中心且正且正负负中心的距且正、 、 负负中心的距中心的距中心的距  该系统的电偶极距为l qp 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间作简谐变化的电偶极子作简谐变化的电偶极子, , 此时电偶极距表示为表示为是振幅是振幅, ,   是角频率是角频率。 。既然原子是一个振荡电偶极子, 它必定在周围空间产生交变电磁场, 即辐射出光波。围空间产生交变电磁场, 即辐射出光波。由图1 1- -4 4所示, 振荡电偶极子振动一个周期,所示, 振荡电偶极子振动一个周期,称电磁场将向外传播一个空间周期, 即电磁称电磁场将向外传播一个空间周期, 即电磁场分布有一定的空间周期场分布有一定的空间周期 , 这就是电磁波的波长波长 。 。  最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间此时电偶极距可可 tiepp00 p  既然原子是一个振荡电偶极子, 它必定在周  由图, 这就是电磁波的 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射振荡电偶极子辐射的电磁场:MAXSWELLMAXSWELL方程组计算, 在经典的电动力方程组计算, 在经典的电动力学著作中均可找到, 我们只给结果。学著作中均可找到, 我们只给结果。作简谐振动的电偶极子在距离很远的P P点辐射的电磁场的数值为:射的电磁场的数值为:2sinpE  振荡电偶极子辐射的电磁场:可由可由  1. 1.作简谐振动的电偶极子在距离很远的点辐)(302)(204sin4tkritkrierpBer 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  式中式中是电磁波的传播速度=夹角。与电偶极子轴线是点的距离P是电偶极子到rr  显然显然, , 上式为一球面波上式为一球面波, , 但与标准球面波不同的是的是, , 电偶极子辐射的球面波的振幅随电偶极子辐射的球面波的振幅随 角而变变。 。但与标准球面波不同角而率相同与电偶极子的振荡角频是波的角频率 , 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  2 2. .E E在在P P和和r r所在平面内振动所在平面内振动, ,  B B在与在与P P和同时 E E和和r r所在平面相垂直的平面内振动所在平面相垂直的平面内振动, ,和 B B又都垂直于波的传播方向又都垂直于波的传播方向, ,三者组成右旋系统, ,表明了其偏振性。 。  同时  E E 、 、 B B 、 、 K K三者组成右旋系统  表明了其偏振性 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  二. 辐射能二. 辐射能 : :  振荡电偶极子不断地向外界辐射电磁场,振荡电偶极子不断地向外界辐射电磁场,由于电磁场具有能量, 所以, 在辐射过程由于电磁场具有能量, 所以, 在辐射过程由于电磁场具有能量, 所以, 在辐射过程由于电磁场具有能量, 所以, 在辐射过程中伴随着电磁场能量的传播。中伴随着电磁场能量的传播。电磁学告诉我们, 在各向同性的煤质中,电场的能量密度(单位体积内的能量电场的能量密度(单位体积内的能量1EE  电磁学告诉我们, 在各向同性的煤质中,) :) :E)/(21232mJED 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射磁场的能量密度为 : :1BHm  磁场的能量密度为  在电磁波情况下: 由在电磁波情况下: 由E E和E和B B的数量关系的数量关系 : :Bn)/(21232mJB  及及  知:知:cBB1mE)/(212132mJEDEE 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  总电磁波能量密度总电磁波能量密度 为:为:)/(1322mJBEmE  因为电磁波以速度因为电磁波以速度 沿方向位时间内穿过与位时间内穿过与K K相垂直的单位面积的能量相垂直的单位面积的能量S S为:为:1EBvs沿方向K K 传播传播, , 所以单所以单)//(222mwmsJE或 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  考虑到传播方向, 可以定义波印廷考虑到传播方向, 可以定义波印廷矢量矢量S SBES1 S S的方向表示电磁波的传播方向,的方向表示电磁波的传播方向,大小表示电磁波所传递的能流密度。大小表示电磁波所传递的能流密度。所以S S又可以叫做能流密度矢量。又可以叫做能流密度矢量。S S的的  所以 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射 对于光波来说对于光波来说B B和所以S S的大小也随时间快速变化的大小也随时间快速变化。 。 在可见光区区E E和和B B的频率达的频率达数量级数量级。 。HZ10数量级数量级。 。目前任何接收器都来不及反映这样高频目前任何接收器都来不及反映这样高频的能量变化的能量变化, , 通常把通常把S S在接收器能分辨的时间间隔内的平均值叫做电磁波的强度间间隔内的平均值叫做电磁波的强度I I。 。1sI和E E都随时间快速变化都随时间快速变化, ,所以在可见光故S S的频率为的频率为, , 故HZ1410515在接收器能分辨的时HZ100sdt 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  对于平面波而言,对于平面波而言, S S及其平均值单的形式:单的形式:1Sdts及其平均值 ss有很简有很简0220)(cos1dttkrA  式中式中A A是平面波的振幅。是平面波的振幅。 222121AA 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  在物理光学中在物理光学中, , 通常把辐射强度的平均值通常把辐射强度的平均值 ss称为光强度称为光强度, , 以以I I表示AI   在许多场合比例系数在许多场合比例系数故常写为:故常写为:表示, , 由上式知由上式知2 在许多场合比例系数在许多场合比例系数并不重要并不重要并不重要并不重要, ,1122AI  1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射三 对实际光波的认识:对实际光波的认识:以上讨论只是一种理想情况, , 实际远非如此1由于原子的剧烈运动, 彼此间不断的碰由于原子的剧烈运动, 彼此间不断的碰撞, 使原子系统的辐射过程常常中断, 致使撞, 使原子系统的辐射过程常常中断, 致使原发光间歇的原发光间歇的原子发光是间歇的。原子发光是间歇的。原子每次发光的间歇时间是原子两次碰撞的时间间隔, 这样原子发出的光波是由一段段时间间隔, 这样原子发出的光波是由一段段有限长的称为波列的光波组成;有限长的称为波列的光波组成;  三  以上讨论只是一种理想情况实际远非如此  1  原子每次发光的间歇时间是原子两次碰撞的 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射每段波列, 其振幅在持续时间内保持不变或缓慢变化, 前后各段波列之间没有固定或缓慢变化, 前后各段波列之间没有固定的位相关系, 光矢量的振动方向也不相同。的位相关系, 光矢量的振动方向也不相同。普通光源辐射的光波普通光源辐射的光波, , 没有偏振性性, , 其发出的光波的振动具有一切可能的其发出的光波的振动具有一切可能的性性, , 其发出的光波的振动具有其发出的光波的振动具有方向方向( (在垂直于传播方向的平面内各个方在垂直于传播方向的平面内各个方向都是可能的向都是可能的) ) ,, 它可以看作是具有各个可它可以看作是具有各个可能振动方向的许多光波的和能振动方向的许多光波的和, , 在各个可能振动方向上没有一个振动方向较之其它方振动方向上没有一个振动方向较之其它方向更占优势向更占优势。 。 这样的光波称微自 然光这样的光波称微自 然光。 。 即 即普通光源是自然光普通光源是自然光。 。  每段波列, 其振幅在持续时间内保持不变  2 2 没有偏振切可能的切可能的在各个可能 1 1- -5 5光波的辐射光波的辐射  作业:作业: 1.6预习:1.6、 、 1.7 1 1- -6 6、 、 1 1- -7 7内容1.7、 、 1.91.9、 、 1.101.10  预习:内容

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