解答下列问题: 银河国际官网(1)如图②

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  PAGE 1 常见辅助线的作法有以下几种: 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 倍长中线法 有以线段中点为端点的线段、有三角形中线时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。 例1. 在△ABC中,已知AD为 △ABC的中线,求证:AB+AC2AD 例2. CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB.求证:CE=2CD。 例3. 已知:如图,△ABC(AB≠AC)中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分∠BAC. 例4.如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. 二、截长补短法 例1、如图,已知在ΔABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC,求证:AC=AB+BD 练习、如图,在中,,是的平分线,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.求证:CD=AD+BC. 图2-1 例3、点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,∠BDC=120°,∠MDN=60°,求证MN=MB+NC. 三、平行法 例1、如图所示.△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证:GD=GE 练习.已知,如图,在△中,,点D在AB边上, 点E在AC边的延长线上,且,连接DE交BC于F. FEBD F E B D C A 例2、已知:如图,△ABC是等边三角形,在BC边上取点D,在边AC的延长线上取点E使DE=AD. 求证:BD=CE. 借助角平分线造全等 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形 例 1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD 练习、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长. 中考应用 如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; OPAMNEBCDF O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ 五、巧证全等三角形 有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线、如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E,若BD平分∠ABC. 求证CE=BD; 练习、已知:如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过A的任一条直线AN,BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求证:DE=BD-CE 例2、如图,AD是的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且. (1)求证:与互补; (2)若,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明。 六、全等三角形综合练习 例1、如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC. M是BC的中点,ME∥AD交AB于F,交CA延长线于E,ABAC,求证:BF=CE. 例2、 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数 例3、(1)如图,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线°,求证:AM=MN. 若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图),N是∠ACP的平分线°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由. 例4、如图①△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N,连接MN. (1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由. (2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长. (3)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点,其它条件不变,在图②中画出图形,并说出BM、MN、NC之间的关系. 例5、如图1,在△ABC中,,的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线于,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M (1)当直线),证明:BN=CD (2) 当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明; (3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系 练习、已知点为线段上一点,分别以、为边在线段同侧作和,且,,,直线)如图①,若,则= ; 如图②,若,则= ;如图③,若,则= ; (2)如图④,若,则= (用含的式子表示); (3)将图④中的如图⑤放置,试探究与的数量关系,并予以证明. 图 图② 图① 图③ 图 图④ 图⑤

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